Energía Cinética del Proyectil

Todos los manuales de balística no ultraespecializados que uno pueda consultar (incluido el mío, Fundamentos de Balística General) proponen como fórmula de la energía cinética del proyectil la típica para un cuerpo de masa m y de velocidad v en un movimiento de traslación lineal.

EC = 1/2 m·v²

Esta fórmula, obviamente, capta el valor de la energía cinética puntual en el momento en el que se cumplen los valores especificados para m y v, teniendo en cuenta que la velocidad del proyectil varía, desde su salida de la boca de fuego, de acuerdo con su movimiento progesivamente decelerado por las fuerzas conjuntas de la gravedad y la resistencia del aire.

Ahora bien, el movimiento traslacional no es el único que tiene el proyectil disparado por un cañón de ánima estriada. Las estrías confieren al proyectil, además, un movimiento rotacional que aporta también su ración de energía cinética al cuerpo en movimiento. La fórmula de la energía cinética de rotación es:

ECr = 1/2 I·w²

donde I es el momento de inercia del cuerpo en rotación respecto de un eje determinado y w es su velocidad angular.

La fórmula de la energía cinética total del proyectil debería ser, por tanto:

ECt = EC + ECr = 1/2 m·v² + 1/2 I·w²

donde (recordémoslo):

m = masa;

v = velocidad lineal;

I = momento de inercia;

w = velocidad angular.

¿Por qué, pues, se prescinde tan alegremente de ese segundo miembro de la ecuación? ¿Por qué desestimar la energía cinética rotacional?

La razón es doble: en primer lugar, el momento de inercia de un cuerpo de forma compleja y distribución de masa no uniforme plantea un cálculo difícil. Un proyectil está formado, cuando menos, por un cuerpo cilíndrico y una ojiva que puede tener diversa configuración: cónica, tronconónica, paraboloide, etc. Puede, además, estar talonado por la base, o tener base cóncava, o convexa. Posiblemente estará blindado, con lo que la distribución de masas será distinta en la periferia que en el núcleo. Y puede, finalmente, estar compuesto por elementos diversos que se separen durante la trayectoria o en el momento del impacto. En segundo lugar, la energía cinética de rotación de los proyectiles de las armas ligeras convencionales es muy pequeña.

¿Tan pequeña como para ignorarla?

Veamos un ejemplo. A efectos de sencillez, estudiaremos el caso de un proyectil wadcutter del .38 Spl., que tiene la ventaja –en lo que a cálculo se refiere– de constituir un cuerpo geométrico sencillo con distribución de masa homogénea: un cilindro de plomo.

Su momento de inercia es:

I_cilindro = 1/2m·r²

donde m es la masa y r el radio del cilindro.

Puesto que la masa nominal del cilindro/proyectil es de 148 grains y su diámetro nominal es de 9 mm., el cálculo es relativamente sencillo, una vez traducidas esas cantidades a las unidades que nos interesan.

Así, 148 grains son 0,00959 kg (= 148/15430) y 9 mm. son, obviamente, 0,009 m. Por su parte, el radio es la mitad del diámetro, esto es: 0,0045 m. Luego:

I = 0,00000009709875 kg·m²

Para poder calcular la ECr, necesitamos ahora la velocidad angular del proyectil. La fórmula es:

w = 2·pi·n

siendo n el número de revoluciones por segundo (RPS) del proyectil. Para conocer n, por tanto, nos hacen falta dos datos: la velocidad lineal del proyectil y el espacio lineal correspondiente a una vuelta completa del cilindro, lo que llamamos habitualmente paso de estría.

La velocidad inicial nominal de nuestro proyectil es de 254 m/s. El paso de estría de los revólveres del .38 Spl. acostumbra a ser de 1:18", esto es, 1:457,2 mm., o una vuelta completa cada 0,4572 m.

Dada la velocidad en m/s y manteniendo la homogeneidad dimensinal requerida:

RPS = v/PE

donde PE es la longitud del paso de estría. Así, en este caso:

RPS = 254/0,4572 = 555,555

El wadcutter bajo escrutinio realiza 555,555 revoluciones por segundo cuando emerge de la boca de fuego con velocidad inicial de 254 m/s.

Tenemos ahora ya todos los datos que necesitamos para resolver la velocidad angular y la energía cinética rotacional:

w = 2·pi·n = 2·pi·555,555 = 3490,655 radianes por segundo (rad/s)

Luego, la energía cinética rotacional será:

ECr = 1/2 I·w² = 1/2 · 0,00000009709875 kg·m² · 3490,655² rad/s =

1/2 · 0,00000009709875 kg·m² · 12184672,329025 rad²/s² = 0,591558226153958109375 J

Teniendo en cuenta que la energía cinética derivada del movimiento de traslación de nuestro proyectil –en boca de cañón (EC₀)— es igual a 309,35422 J, los aproximadamente 0,6 J derivados de su movimiento rotacional representan un mero 0,19% de la primera cantidad.

¿Negligible? Depende, por supuesto, de la precisión con la que uno quiera realizar los cálculos. Pero el hecho de que en boca de cañón represente una cantidad tan ínfima, vuelve esta magnitud irrelevante, en balística terminal, a efectos de las propiedades lesivas de los proyectiles convencionales de armas ligeras.

STOPPING POWER

El stopping power es un concepto de balística terminal en su dimensión fisiopatológica con importantes consecuencias tácticas y operativas, sobre todo, en la selección de la munición a emplear en un tipo de misión específico. Más concretamente el stopping power es una magnitud que intenta cuantificar cuán lesivo para el oponente en combate es un proyectil disparado en condiciones determinadas.

Como idea, tiene sus detractores y sus defensores. El problema con los primeros es que para desautorizar esta noción recurren demasiado a menudo a la “estrategia del molino de viento” (o, si uno está más inclinado a pensar en términos anglosajones, “del hombre de paja”). Dicha estrategia argumentativa consiste en atacar, no el concepto en sí (“el gigante”), sino una versión simplista del mismo (“el molino de viento”) creada ad hoc con efectos ridiculizantes o extraída, por pura ignorancia, del rumor popular.

La versión simplista del stopping power consiste en imaginar que el momento lineal de un proyectil con “poder de parada” es capaz, por sí mismo, de detener el avance de un hostil o, directamente, de tumbarlo en el suelo. El momento, recordémoslo, viene a ser una medida del “golpe” del proyectil (su masa por su velocidad). Un proyectil de 124 grains a 400 m/s tiene un momento lineal de 3,2 kg·m/s, mientras que un hombre de 70 kg que camina con paso normal, a 5 km/h (1,38 m/s) tiene un momento de 96,6 kg·m/s. La desproporción es obvia. Está claro que ninguno de los proyectiles convencionales disparados por arma ligera tiene el poder de tumbar a un ser humano de peso también convencional por la mera magia de su masa y velocidad o —dicho de un modo menos metafórico y más técnico— por la transmisión parcial o total de su momento.

Esta versión reduccionista del stopping power, sin embargo, es la que embisten sus detractores y la que, con paternalista autocomplacencia, muestran acorralada y vencida como si fueran los poseedores de un sofisticado conocimiento físico y todo el mundo alrededor fuese ignorante. La cuestión es que nadie que haya reflexionado seriamente sobre este concepto o se haya entretenido en calcular su magnitud ha dicho nunca estupidez semejante.

La preocupación por el “poder de parada” de los proyectiles de las armas ligeras empieza, obviamente, con la invención de dichos instrumentos de destrucción humana. Para eso se crearon... y la lesividad de los mismos no era otra cosa que la medida de su eficacia. Ahora bien, no vamos a perdernos en la prehistoria del concepto, sino a tomarlo en el momento en que cristaliza como tal y comienzan los intentos “científicos” (entre comillas porque la ciencia en estos intentos es discutible) de cuantificarlo.

Desde principios del siglo xx, esos intentos han sido fundamentalmente de tres tipos:

1. Empíricos:
1. Stopping Power o Poder de Parada, del War Department Board USA (1904; cf. el capítulo “Stopping Power of Projectiles from Rifles, Pistols and Revolvers” del libro Gunshot Injuries, escrito por el coronel Louis A. La Garde, que formó parte de dicho panel).
2. Relative Incapacitation Index (RII) o Índice de Incapacitación Relativo, del American National Institute of Law Enforcement (1973).
3. Average Incapacitation Time (AIT) o Tiempo Medio de Incapacitación, según los tests de Estrasburgo (1991).
2. Estadísticos:
1. One Shot Stop (OSS) o Parada con un Único Disparo, de Evan P. Marshall y Edwin J. Sanow (1992; cf. Handgun Stopping Power: The Definitive Study).
3. Especulativos:
1. Relative Stopping Power (RSP) o Poder de Parada Relativo, del militar norteamericano Julian Hatcher (1935; cf. el capítulo “Bullet Effect and Shock Power” de su obra Pistols and Revolvers).
2. Wound Trauma Incapacitation (WTI) o Trauma de Herida Incapacitante, de Duncan MacPherson (1994; cf. Bullet Penetration: Modelling the Dynamics and the Incapacitation Resulting from Wound Trauma).
3. Quantitative Model o Modelo Cuantitativo de Charles Schwartz (2012; cf. Quantitative Ammunition Selection).

 Sin duda habrá habido otros muchos intentos, con menor repercusión bibliográfica, de los que este autor confiesa su ignorancia. Los habrá habido también de carácter secreto, pues quién pondrá en cuestión que totalitarismos de cualquier extremo, sirviéndose de la omnipotencia que les otorga el capricho del momento elevado a ley suprema, hayan experimentado con enemigos del régimen. Los alemanes probaron balas venenosas con prisioneros rusos durante la Segunda Guerra Mundial y la monstruosidad del hombre no se atenúa con el progreso tecnológico, sino que más bien aumenta.

El modo empírico de responder “científicamente” al problema de cuantificar el stopping power, sin embargo, ha venido siendo menos cruel que los ensayos nazis (dependiendo, claro está, de la empatía que uno tenga con los difuntos, los cuadrúpedos cornudos, o los prisioneros de guerra rusos). Ha consistido en efectuar disparos con distintos calibres y configuraciones de proyectil contra cadáveres humanos y animales vivos (sobre todo cabras), examinar los efectos fisiopatológicos de los impactos y llegar a conclusiones sobre el nivel de lesividad de las diferentes municiones.

De especial interés para la historia militar fueron las pruebas del Departamento de Defensa Norteamericano en 1904, pues condujeron a la adopción por el ejército de la pistola Colt 1911 (.45 ACP) en substitución del revólver en calibre .38 Colt que tan pobres resultados había dado a las tropas estadounidenses en Filipinas.

El método empírico tiene aquí la ventaja de operar con datos fehacientemente registrados a partir del comportamiento de armas, municiones y tejidos orgánicos. Ahora bien, las condiciones experimentales, cuidadosamente calculadas y diseñadas, no siempre son extrapolables al combate real. Por otra parte, la psicología del que recibe el impacto del proyectil en combate juega un papel fundamental en su tiempo de incapacitación y este factor no puede tenerse en cuenta en los experimentos con animales vivos o cadáveres humanos... por más que el Apocalipsis Zombi pueda hacernos pensar lo contrario.

Precisamente porque puede factorizar hasta cierto punto (implícitamente) la psicología del combatiente, reviste especial interés el método estadístico como el que emplean Evan P. Marshall y Edwin J. Sanow en su obra Handgun Stopping Power: The Definitive Study de 1992. El método estadístico opera con los datos recogidos de hechos consumados en la vida real. Así, cuando nos dice que un proyectil .357 Magnum de la casa Federal, de 125 grains, blindado, con punta hueca, a 443 m/s, incapacitó al oponente al primer disparo en un 96,96% de las ocasiones (en 448 enfrentamientos de un total de 462), no está suponiendo lo que podría ocurrir con dicha munición, sino clarificando lo que ha ocurrido con ella en combate real según el registro administrativo de dichos eventos.

¿Es extrapolable este comportamiento pasado al tiempo futuro? Sí y no. A efectos de futuro, el planteamiento estadístico es probabilístico, no causal, y las probabilidades tienden a la congruencia con las estadísticas siempre y cuando las variables tenidas en cuenta —y las no tenidas en cuenta— se mantengan estables.

Mucho más ambicioso es el método especulativo, que trata de llegar a una ley general de comportamiento y formularla en los términos de una ecuación. De los tres ejemplos citados en este apartado, Hatcher, MacPherson y Schwartz, el de más inmediata aplicación por la simplicidad del planteamiento es el RSP del primero de estos autores. Hatcher elaboró originalmente una fórmula según la cual el stopping power era función del área seccional del proyectil, la energía cinética del mismo en boca de cañón y una tercera variable que él llamó shape factor (“factor figura”, traducido así para no confundirlo con el form factor o “factor forma” que entra en la ecuación del coeficiente balístico). Así:

RSP = A · EC₀ · ff

RSP = Relative Stopping Power;

A = área seccional del proyectil;

EC₀ = energía cinética inicial del proyectil;

ff = factor figura.

Más tarde, sin embargo, llegó a la conclusión de que el factor relevante no era la energía cinética, sino el momento lineal transmitido a los tejidos orgánicos impactados y reformuló la ecuación en los términos siguientes:

RSP = A · p · ff

siendo p el momento lineal del proyectil.

En cuanto al factor figura, atribuyó a diferentes configuraciones de proyectil valores tanto más altos cuanto mayor su superficie inicial de impacto y su deformabilidad:

Ojiva redondeada blindada = 900

Ojiva redondeada de punta plana = 1000

Ojiva redondeada de plomo = 1000

Ojiva roma de plomo = 1050

Ojiva de plomo culminada en un plano muy amplio = 1100

Wadcutter = 1250

Como puede observarse, el planteamiento de Hatcher es simple pero simplista, práctico pero de utilidad incierta. Viene a cristalizar en ecuación una idea que ya se conocía desde la creación de las balas dum dum por los británicos en su lucha contra las tribus del norte de la India: que a mayor velocidad, superficie inicial de impacto y deformabilidad del proyectil más masa de tejido orgánico es destruida y más posibilidades hay de ocasionar daños inmediatamente incapacitantes.

Macpherson, un ingeniero mecánico proveniente del mundo de la astrofísica, y Schwartz, un polifacético personaje con titulaciones académicas en física y psicología, han recorrido la línea trazada por Hatcher y llegado cada uno de ellos a un conjunto de fórmulas que cuantifican la profundidad de penetración de diferentes configuraciones de proyectil en tejido orgánico, la velocidad residual de los mismos después de la perforación, la masa de tejido destruida, etc.... fórmulas que sería inútil reproducir aquí sin seguir paso por paso el desarrollo argumentativo de estos autores.

Como puede verse por la historia de su desarrollo y por las muchas manifestaciones de este concepto, el “poder de parada” no es ni mucho menos una idea absurda. Un proyectil para cuando incapacita. Y un proyectil incapacita cuando al ser humano o animal alcanzado le provoca un shock físico o psicológico (o ambos a la vez) de tal magnitud que le impide proseguir su ataque.

¿Tiene sentido, no obstante, la expresión “poder de parada” de un calibre o proyectil? Desde el momento en que Teddy Roosevelt (por acudir a una lectura reciente de su African Game Trails) pone de rodillas a un elefante a la carga con un solo disparo de su rifle Holland & Holland en calibre .550/450 pero no con su Springfield .30-06, tiene sentido, efectivamente. ¿Es la expresión más adecuada? Quizá no, por dos razones: primero, porque hace pensar en un poder inherente del calibre o proyectil, mientras que ese poder ni es inherente ni siquiera relativo, como propone Hatcher, sino potencial. Y segundo porque la “parada” no es el aspecto esencial del fenómeno, sino consecuencia de lo que nos interesa averiguar realmente: la incapacitación.

En efecto, el poder lesivo del proyectil, basado en factores tales como su momento lineal, su deformabilidad o fragmentabilidad, su diámetro, etc. es potencial hasta que no se concreta en un acto incapacitante. Si el tirador falla, si no impacta un área vital, si no doblega la voluntad de lucha del oponente, la potencialidad lesiva del proyectil resulta inútil. Por ello, quizá una expresión más precisa y que daría lugar a menos malentendidos sería la de Poder Potencial de Incapacitación.

Sin ánimo de destronar la expresión secularmente establecida de stopping power ni de añadir nuevas formulaciones matemáticas, termino aquí estas líneas esperando haber arrojado algo de luz sobre un concepto tan controvertido.

Curso de Medios Operativos, Vilassar de Mar, 15-11-2014

El pasado sábado día 15 de Noviembre tuvo lugar, en el Club de Tiro de Vilassar de Mar, el primer seminario táctico del Laboratorio Técnico de Balística Forense, dedicado a un tema tan extenso y complejo como fundamental: los medios operativos, la configuración del equipo táctico, la movilidad del operador y su accesibilidad a los muchos instrumentos que conforman el equipamiento necesario para su misión.

 

Tuvimos la suerte y privilegio de contar con un alumnado extraordinariamente correcto y dedicado, proveniente de los mundos policial, criminalista, de la seguridad privada y de diferentes áreas de la vida civil.

  

Nuestros instructores del LAB, Yaakov Vidal y Francisco Ángel Bergillos, hicieron una rigurosa exposición de los medios operativos con los que puede o debe contar cualquier especialista en diferentes tipos de misión, centrándose particularmente en las áreas relativas a la ropa, botas, cinturón y chaleco tácticos, con todos sus complementos; los elementos de armadura, en especial el casco y chaleco balísticos, con sus varios niveles de protección; las herramientas de incursión, comunicación, iluminación y supervivencia; y, finalmente, las armas cortas, largas y blancas.

  

En diversas mesas alrededor de los docentes quedaron expuestos, mientras duró la clase teórica, todo tipo de medios operativos, desde un Barret B98 Bravo hasta máscaras de gas, escudos balísticos, cascos de combate, un ariete, cizallas, una cámara endoscópica y un larguísimo etcétera.

Esta clase teórica, ayudada de una elocuente exposición en Power Point, duró toda la mañana, desde las nueve y media hasta las tres, con un breve descanso. Más que entrado el mediodía, el Club nos ofreció un menú tan asequible como copioso, que consumimos con circunspección dado el esfuerzo físico que exigiría la tarde.

 Para la sesión práctica del curso, nuestros instructores habían preparado las tres galerías de tiro del Club convirtiéndolas en un circuito tripartito de obstáculos. Esta pista de pruebas, todo hay que confesarlo, estaba diseñada con un “fraternal sadismo”. Fraterno lo fue en todo momento por el buen ambiente generado, pero sádico (en el mejor sentido del término) lo fue también... un rato largo. La sonrisa en el rostro del alumno al comenzar el circuito era la mejor expresión de lo primero y su cara descompuesta, rebozada en polvo, al terminarlo era la cruda constatación de lo segundo. 

 En la última de las galerías, sin otra luz que la de los focos prioritarios de un “coche patrulla”, el alumno tenía que rescatar a un muñeco a modo de compañero herido y transportarlo reptando bajo una “alambrada”. Respetuosa pero diabólicamente azuzados por los instructores, perseguidos en ocasiones por las crepitaciones insidiosas del shock knife que blandía uno de ellos, los alumnos tenían que completar el circuito en el menor tiempo posible equipados con chaleco balístico, chaleco táctico, casco, arma corta y arma larga (se usaron las de airsoft) y el resto de complementos necesarios para la acción. Todos ellos lo completaron jadeantes y envueltos en nubarrones de “polvo táctico”, pero con disciplina encomiable. Hasta hubo algún “masoquista” que quiso repetirlo. ¡Felicidades!

El objetivo de la prueba, sin embargo, no era demostrar a nadie que “polvo eres y en polvo te convertirás”, sino, muy al contrario, evaluar la idoneidad del equipo táctico de todos los participantes a fin de que cada cual tarde lo más posible en “retornar al polvo”... o al menos que no lo haga por causa de ineptitud operativa. Esta evaluación se realizó a última hora de la tarde mediante un debriefing en grupo, tras el cual la jornada quedó sellada con la entrega de diplomas.

Para el que escribe estas líneas fue un placer y un privilegio compartir dicha jornada con un grupo tan selecto de humanidad.

VELOCIDAD TERMINAL

Artículo de interés forense en: http://www.stockarmas.com/disparos-al-aire-son-mortales/#comment-3792

El artículo presenta, sin embargo, un fallo importante. Por un lado, el dato de la altura que alcanza el proyectil de 9 mm. PB (800 m.) es un dato experimental (cuya fuente debería citarse, por cierto), esto es, bajo la influencia de la resistencia del aire. Por el otro, para el cálculo del tiempo de caída se aplica la fórmula de caída en el vacío, sin el factor de la resistencia del aire. Ello es incongruente.

Si para el cálculo de la altura alcanzada por el proyectil aplicamos el mismo modelo que para el cálculo del tiempo de caída, esto es, de ascenso en el vacío, sin resistencia del aire, obtenemos una altura de 6.248,50009 m., un tiempo de ascenso de 35,71428 s. y obviamente una velocidad final de caída exactamente igual a inicial, de 350 m/s.

No haciendo entrar en la ecuación otra fuerza que la gravedad, ésta actúa de decelerante en el ascenso y de acelerante en el descenso de un modo invariable, equilibrando la ecuación y haciendo que la velocidad de partida del suelo y de retorno al suelo sea igual. De hecho, un poco mayor la de retorno, porque uno no dispara a ras de suelo, sino de pie y con el brazo extendido a lo alto..., digamos, desde unos 2,5 m. 

Por supuesto esto no es así porque la resistencia del aire es otra fuerza a tener en cuenta y ésta actúa decelerando el proyectil en el ascenso y volviendo a decelerarlo en el descenso. En el ascenso limita considerablemente la altura máxima que pudiera alcanzar el proyectil sin la acción de esta fuerza. En el descenso, puesto que la resistencia del aire crece con la velocidad del proyectil, llega un momento en que iguala el peso de la bala y ésta sigue, a partir de ese momento, a velocidad constante (en este caso, terminal) hasta el fin de su caída.

La fórmula de la velocidad terminal más común es:

V_t = √2mg/ρAC_d

V_t = Velocidad terminal

m = masa del proyectil

g = gravedad

ρ = densidad del aire

A = área de la superficie que presenta el proyectil

C_d = coeficiente de deceleración del aire

Las velocidad terminal, así, será distinta según la superficie que presente el proyectil contra la masa del aire al caer (de punta, de base, de lado, etc.) y según, también, la humedad, polución, etc. del aire, todo lo cual influye en su densidad y coeficiente de deceleración.

El dato experimental de los 50 m/s para la velocidad final de caída de un proyectil del 9 PB parece ajustarse a las pruebas realizadas hasta el momento. Ahora bien, nadie nos dice que un proyectil a esa velocidad, aunque no atraviese la bóveda craneal, no pueda generar un hematoma intracraneal, que en unas pocas horas, si no se detecta a tiempo, sería tan letal como un proyectil que hubiese penetrado la calota.

De hecho, en EEUU disparar al aire en una municipalidad, a menos de 1 milla de una vivienda, se considera un acto criminal. Esto es resultado de la extensión al territorio federal de la Shannon’s Law de Arizona, implementada después de la muerte de la joven Shannon Smith por una bala disparada al aire la Noche Vieja de 1999 en Phoenix (http://cantorcriminallawyers.com/shannons-law-arizona).

Para quien esté interesado en datos experimentales, el libro  Shooting Incident Reconstruction de Haag & Haag contiene una tabla de velocidades terminales para diferentes calibres, tipos de proyectil y formas de caída en la pg. 235. Desafortunadamente no contiene datos del 9 PB, pero sí de un 9 mm. Largo, FMJ, de 124 gr. a una velocidad inicial de 338,327999 m/s que cae con la base por delante. He aquí los datos:

altura máxima alcanzada = 1345,69200 m.

velocidad terminal = 66,75119 m/s.

tiempo de descenso =  24,6 s.